Cultura

L’INFINITO

LIVIO GHIRINGHELLI - 04/11/2021

Da tempo immemore l’uomo ha concepito l’infinito. La riflessione matematica ha elaborato su di esso due concetti distinti: l’infinito potenziale e l’infinito attuale. Il primo denota una grandezza variabile finita, che cresce al di là di ogni limite finito e si presenta come un processo in fieri, mai completato; quello attuale invece denota una totalità fissa e costante, che supera in estensione ogni grandezza finita.

Aristotele negava la possibilità di un infinito attuale. In epoca moderna invece Georg Cantor (1848- 1918), matematico e logico tedesco di origine russa, crea una nuova teoria matematica, quella degli insiemi, per estendere la disciplina al nuovo dominio rappresentato dall’infinito e ammette l’esistenza di insiemi infiniti intesi come infiniti attuali. È legittimo immaginare l’insieme di tutti i numeri naturali, totalmente esistente già nella sua infinità. Si tratta di un aggregato, che ha delle parti al tutto equivalenti; la serie infinita dei numeri naturali si può mettere in corrispondenza biunivoca con i suoi sottoinsiemi.

La violazione dell’assioma “il tutto è maggiore delle parti” non conduce a contraddizioni. In un insieme infinito l’intero insieme e una sua parte, senz’altro non identici, possiedono tuttavia lo stesso numero di elementi. Qui Cantor costruisce una suggestiva teoria matematica dei numeri infiniti, detti pure transfiniti; il numero transfinito, che spetta all’insieme infinito dei numeri reali, è maggiore del numero transfinito, che spetta all’insieme infinito dei numeri naturali.

David Hilbert (1862-1943), matematico e logico tedesco, fondatore della corrente formalista di filosofia della matematica, indissolubilmente legato alle indagini sui fondamenti della matematica, si collega alle tesi di Cantor sul problema dell’infinito in una conferenza del 1925. Per lui nella realtà che ci circonda l’infinito non esiste, il mondo è fatto di tante cose, ma tutte finite. L’universo è finito sia nell’infinitamente grande (finito nello spazio), sia nell’infinitamente piccolo (materia, elettricità ed energia non sono divisibili all’infinito). Ma Hilbert, dichiarando l’infinito inesistente in natura, lavora sulla teoria degli insiemi elaborata da Cantor, soprattutto in merito ai numeri transfiniti (numeri al di là dei numeri finiti, che spettano agli insiemi infiniti). Hilbert pensa altresì di ridurre le teorie matematiche a puri formalismi, prescindendo dal significato delle formule che li costituiscono.

Bisogna creare una nuova scienza, la metamatematica, che dovrà fare uso esclusivamente dei mezzi finitari accessibili all’uomo, in cui non è coinvolto l’infinito e controllarli effettivamente senza ricorso a prove di non contraddittorietà. L’aritmetica finitista poggia sull’intuizione finitaria, cioè non fa riferimento all’infinità dei numeri, programma dichiarato irrealizzabile nel 1931 dal matematico austriaco Kurt Gödel. Di ogni teoria assiomatizzabile e coerente non si può dimostrare la non contraddittorietà con mezzi finitari offerti dalla teoria stessa.